Среди геометрических фигур, которые рассматриваются в разделе геометрия, наиболее часто приходится сталкиваться при решении тех или иных задач с треугольником. Он представляет собой образованную тремя прямыми. Они в одной точке не пересекаются и не являются параллельными. Можно дать иное определение: треугольник представляет собой ломаную замкнутую линию, состоящую из трех звеньев, где ее начало и конец соединяются в одной точке. Если все три стороны имеют равную величину, то это правильный треугольник, или, как говорят, равносторонний.
Как же определить Для решения подобных задач необходимо знать некоторые свойства этой геометрической фигуры. Во-первых, у данного все углы равны. Во-вторых, высота, которая опускается с вершины на основание, является одновременно и медианой, и высотой. Это говорит о том, что высота делит вершину треугольника на два равных угла, а противоположную сторону - на два равных отрезка. Так как равносторонний треугольник состоит из двух то при определении искомой величины необходимо использовать теорему Пифагора.
Расчет площади треугольника можно произвести различными способами, в зависимости от известных величин.
1. Рассмотрим равносторонний треугольник с известными стороной b и высотой h. Площадь треугольника в этом случае будет равна одной второй произведения стороны и высоты. В виде формулы это будет выглядеть так:
Говоря словами, площадь равностороннего треугольника равна одной второй произведения его стороны и высоты.
2. Если известна только величина стороны, то прежде, чем искать площадь, необходимо вычислить его высоту. Для этого рассмотрим половину треугольника, в котором высота будет одним из катетов, гипотенуза - это сторона треугольника, а второй катет - половина стороны треугольника согласно его свойствам. Все из той же теоремы Пифагора Как из нее известно, квадрат гипотенузы соответствует сумме квадратов катетов. Если рассматривать половину треугольника, то в данном случае сторона является гипотенузой, половина стороны - одним катетом, а высота - вторым.
(b/2)²+ h2= b² , отсюда
h²= b²-(b/2)². Приведем к общему знаменателю:
Как видим, высота рассматриваемой фигуры равна произведению половины его стороны и корня из трех.
Подставим в формулу и увидим: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.
То есть, площадь равностороннего треугольника равна произведению четвертой части квадрата стороны и корня из трех.
3. Есть и такие задачи, где необходимо определить площадь равностороннего треугольника при известной высоте. И это оказывается проще простого. Мы уже вывели в предыдущем случае, что h²= 3 b²/4. Дальше необходимо отсюда вывести сторону и подставить в формулу площади. Выглядеть это будет так:
b²=4/3* h², отсюда b=2h/√3. Подставив в формулу, по которой находится площадь, получим:
S=1/2* h*2h/√3, отсюда S= h²/√3.
Имеют место задачи, когда необходимо найти площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной или описанной окружности. Для этого расчета также существуют определенные формулы, которые выглядят следующим образом: r = √3* b/6, R=√3* b/3.
Действуем уже по знакомому нам принципу. При известном радиусе, выводим из формулы сторону и вычисляем ее, подставив известную величину радиуса. Полученное значение подставляем в уже известную формулу для расчета площади правильного треугольника, проводим арифметические вычисления и находим искомую величину.
Как видим, для того, чтобы решить аналогичные задачи, необходимо знать не только свойства правильного треугольника, а и теорему Пифагора, и радиус описанной и вписанной окружности. Для владеющих этими знаниями решение подобных задач не будет представлять особого труда.
Найти площадь равностороннего треугольника можно по любой формуле для произвольной фигуры данного типа или воспользоваться теми, в которых уже учтена особенность именно этой фигуры и математические выражения существенно упрощены.
Первый случай только требует замены всех сторон одинаковым значением и учета того, что все углы у треугольника равны 60º. Потом останется провести несложные преобразования, которые и приведут к формулам, данным в готовом виде немного ниже.
Формула 1: известна сторона
В этой и последующих формулах приняты стандартные обозначения величин треугольника. Подробнее их можно посмотреть в предложенной таблице.
Расчет площади треугольника в этом случае будет осуществляться по формуле:
S = √3/4 * а 2 .
Она легко получается из той, которая известна для произвольной фигуры с тремя сторонами. Просто в формуле нужно учесть то, что все стороны у треугольника равны.
Если говорить более точно, то потребуется формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Значение полупериметра для равностороннего треугольника будет равно 3а/2. Таким образом, в каждой скобке под корнем получится выражение ((3а/2) - а). Оно даст после преобразования а/2.
Так как скобок три, то у этого выражения появится третья степень. А значит, оно преобразится в а 3 /8.
Его еще нужно умножить на полупериметр, который определяется как сумма сторон, разделенная на 2. Получится выражение: 3а 4 /16. После извлечения квадратного корня как раз и останется то выражение, что дано в первой формуле для площади равностороннего треугольника.
Поэтому нет необходимости запоминать много формул. Можно просто запомнить одну — Герона. Из нее путем простых математических преобразований получаются все остальные, например, для равностороннего треугольника.
Формула 2: дан радиус вписанной окружности
Это выражение очень напоминает предыдущую запись. Но все же есть существенные отличия: используется другая буква, иррациональность ушла в знаменатель, появился множитель 3 и исчезла цифра 4. В общем, ее легко запомнить.
S = 3√3 * r 2 .
Эту формулу тоже легко получить из той, которая дана для произвольного треугольника. В ней радиус умножается на сумму сторон и делится на 4. Поскольку стороны имеют одинаковое значение, что сумма заменится на 3а. Теперь нужно убрать «а», чтобы осталось только значение радиуса. Для этого потребуется выражение, в котором сторона делится на произведение 2 и синуса противолежащего стороне угла. Так как угол равен 60º, то значение синуса будет √3/2. Тогда сторона выразится через радиус так: а = √3R. После несложного преобразования можно прийти к тому выражению для площади, которое дано вначале.
Формула 3: дана описанная окружность и ее радиус
Она очень похожа на первую. Только в ее числителе появляется цифра 3 и поменялась буква на R.
S = 3√3/4 * R 2 .
Поскольку радиус в два раза больше того, который рассматривался в предыдущем пункте, то понятно, как она получается. В ней просто вместо r ставится R/2. И проводятся необходимые преобразования.
Поэтому формулу можно не запоминать. Только держать в памяти соотношение радиусов вписанной и описанной около равностороннего треугольника окружностей.
Формула 4: известна высота
В этом случае площадь равностороннего треугольника равна:
S = н 2 / √3.
Чтобы понять, как получается такая формула, потребуется опять воспользоваться общей для всех треугольников. Она выглядит как произведение стороны на высоту и на ½. Теперь, чтобы узнать площадь равностороннего треугольника, придется вспомнить или вывести математическое выражение для высоты.
Ее несложно узнать, если воспользоваться тем фактом, что высота образует прямоугольный треугольник. Значит, высота может быть найдена как катет - из теоремы Пифагора. Второй катет будет равен половине стороны, так как высота является еще и медианой (это известное свойство равностороннего треугольника). Тогда высота будет определяться как квадратный корень из разности двух квадратов. Первый «а», а второй «а/2». После возведения во вторую степень и извлечения корня остается: н = (√3/2)*а. Из него а = 2н/√3. После подстановки его в основную для всех треугольников формулу получится то выражение, которое указано в начале раздела.
Пример №1
Условие. Вычислить площадь равностороннего треугольника, если известно, что его сторона имеет значение 4 см.
Решение. Поскольку известно значение сторон фигуры, то необходимо пользоваться первой формулой.
Сначала потребуется возвести в квадрат число 4. От этого действия получится число 16. Теперь оно сокращается с четверкой, стоящей в знаменателе. И в итоге в числителе остается 4 и √3, а знаменатель становится равным единице, значит, его можно просто не записывать. Это результат, который и требовалось найти в задаче.
Ответ: 4√3 см 2 .
Пример №2
Условие. Все стороны равностороннего треугольника равны 2√2 дм. Вычислить его площадь.
Решение. Рассуждения такие же, как в первой задаче. Только значение квадрата стороны будет другим. В нем нужно отдельно возвести во вторую степень 2 и иррациональность. И результат будет таким: 4*2 = 8. После сокращения со знаменателем остается 2 и √3 в числителе дроби, а знаменатель исчезает.
Ответ: 2√3 дм 2 .
Пример №3
Условие. В равносторонний треугольник вписана окружность, ее радиус 2,5 см. Необходимо вычислить площадь треугольника.
Решение. Для расчета искомой величины потребуется воспользоваться второй формулой.
Сначала значение радиуса нужно возвести в квадрат. Получится 6,25. Потом это значение требуется умножить на 3. Результатом этого действия станет число 18,75. Но это еще не конечное значение: в нем будет множитель √3, который присутствует в используемой формуле.
Ответ: 18,75√3 см 2 .
Пример №4
Условие. Требуется определить, чему равна площадь равностороннего треугольника, если известна его высота — 3 дм.
Решение. Естественно, что выбрать нужно четвертую формулу. С ее помощью проще всего найти ответ этой задачи.
Достаточно только возвести в квадрат число 3, то есть высоту, что даст значение 9. А потом разделить его на √3, стоящий в формуле.
Поскольку в математике не принято оставлять иррациональность в знаменателе ответа, то от нее нужно избавиться. Для этого дробь 9/√3 потребуется умножить на дробь с одинаковыми числителем и знаменателем, а именно √3/√3. От этого действия в числителе появится значение 9√3, а в знаменателе появится число 3.
Эту дробь можно и нужно сократить на 3. Это конечный результат.
Ответ: площадь — 3√3 дм 2 .
Пример №5
Условие. Дан равносторонний треугольник, площадь которого равна 27 см 2 . По этой величине нужно узнать длину стороны фигуры.
Решение. Поскольку речь идет о стороне, то подойдет первая формула. Из нее можно сразу вывести математическое выражение, которое позволит определить сторону треугольника.
Для этого площадь нужно умножить на 4 и разделить на квадратный корень из трех. Так получится значение для стороны в квадрате. Чтобы получить просто сторону, нужно извлечь корень. Выражение для стороны будет выглядеть так: а = 2 * √(S/√3).
Так как площадь известна, то можно сразу приступать к вычислениям. Подкоренное выражение выглядит как частное 27 и √3. Нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Получится 27√3, разделенное на 3. После сокращения в знаменателе остается 1, которую можно не писать, а в числителе остается 9√3.
Следующим действием будет извлечение корня из получившегося выражения. Первый множитель дает значение 3. А вот второй - √3 - требует к себе внимания. Чтобы упростить задачу, можно извлечь эти корни и округлить значения.
√3 = 1,73; теперь из него еще раз извлекаем корень и получаем 1,32.
Осталось только умножить его на 2 и получить искомый результат.
Ответ: сторона равна 2,64 см.
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Виктор:
Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.
Карина:
Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
