Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Логические операции Иванова Юлия
Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
Инверсия (логическое отрицание) Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Обозначение:
А 1 0 0 1 Таблица истинности
Конъюнкция (логическое умножение) Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны. Обозначение:
Таблица истинности А B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Дизъюнкция (логическое сложение) Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначение:
Таблица истинности А B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
Импликация (логическое следование) Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие. Обозначение: А - условие В - следствие
Эквивалентность (логическое равенство) Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. Обозначение:
Таблица истинности А B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Приоритет выполнения логических операций При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету: 1.инверсия, 2.конъюнкция, 3.дизъюнкция, 4.импликация и эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. Пример
Пример Дана формула Определите порядок вычисления. Порядок вычисления: Инверсия – Конъюнкция – Дизъюнкция – Импликация – Эквивалентность –
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Логические выражения и базовые логические операции. Таблицы истинности.
В данной разработке приведены план-конспект урока по теме: "Логические выражения и базовые логические операции. Таблицы истинности". Презентация с дополнительными файлами позволяет сэкономить вр...
Элементы математической логики. Логические операции. Конструирование логических выражений с использованием отношений и логических операций
При обучении в школе важное значение имеет предмет "Информатика и ИКТ». Один из разделов теоретического курса – логика – рассматривает законы и правила логического мышления, которые являют...
Презентация к уроку информатики "Логические операции и таблицы истинности. Решение задач."
Презентация к уроку информатики «Логические операции и таблицы истинности»Данная презентация состоит из разделов:Логические операции, примеры;Порядок выполнения логических операций;Примеры решен...
КОНЪЮНКЦИЯ F = A & B. F = A & B. Логическое умножение Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И. ABF
Примеры: 10 делится на 2 и 5 больше 3 10 делится на 2 и 5 больше 3 10 не делится на 2 и 5 больше 3 10 не делится на 2 и 5 больше 3 10 делится на 2 и 5 не больше 3 10 делится на 2 и 5 не больше 3 10 не делится на 2 и 5 не больше 3 10 не делится на 2 и 5 не больше 3 F=A&B F=A&B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.
ДИЗЪЮНКЦИЯ F = A + B F = A + B Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ ABF
Примеры: 10 делится на 2 или 5 больше 3 10 делится на 2 или 5 больше 3 10 не делится на 2 или 5 больше 3 10 не делится на 2 или 5 больше 3 10 делится на 2 или 5 не больше 3 10 делится на 2 или 5 не больше 3 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 F=A V B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.
ИНВЕРСИЯ Логическое отрицание: ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Логическое отрицание: ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО A _ _ F = A 10 01
Логическое следование (импликация) Логическое следование (Импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «если… то…». Логическое следование (Импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «если… то…». Импликация записывается как посылка следствие; (остриё всегда указывает на следствие). Импликация записывается как посылка следствие; (остриё всегда указывает на следствие). F = A B, составное высказывание, образованное с помощью операции: логическое следование (импликация) F = A B, составное высказывание, образованное с помощью операции: логическое следование (импликация) Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: Суждение 1. Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия; 1. Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;условием 2. Следствие является условием, необходимым для истинности посылки. 2. Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
"Житейский" смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: Для более лёгкого понимания смысла импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А начальник. Он может приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). А начальник. Он может приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). В подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация не что иное, как послушание подчиненного начальнику. В таком случае импликация не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.
ИМПЛИКАЦИЯ Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается A B символом "следовательно" и Обозначается A B символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ …, ТО … выражается словами ЕСЛИ …, ТО … ABF
Примеры: Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность A B A B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.
Порядок выполнения логических операций 1. инверсия 1. инверсия 2. конъюнкция 2. конъюнкция 3. дизъюнкция 3. дизъюнкция 4. импликация 4. импликация Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки. Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.
Пример задания 1: Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: XYZF) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z Какое выражение соответствует F? Какое выражение соответствует F?
Решение: нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F
Первое выражение, равно 1 только при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит) первое выражение, равно 1 только при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит) второе выражение, равно 1 только при X=Y=Z=1, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят) второе выражение, равно 1 только при X=Y=Z=1, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят) третье выражение, равно нулю при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит) третье выражение, равно нулю при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда X=Y=Z=1, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда X=Y=Z=1, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности таким образом, правильный ответ – 4 таким образом, правильный ответ – 4 XYZF) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z
Пример задания 2: Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: XYZF Какое выражение соответствует F? 1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z3) X ¬Y ¬Z4) X ¬Y ¬Z
Решение: В столбце F есть единственная единица для комбинации X=1, Y=Z=0, простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид, она есть среди приведенных ответов (ответ 3) В столбце F есть единственная единица для комбинации X=1, Y=Z=0, простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид, она есть среди приведенных ответов (ответ 3) таким образом, правильный ответ – 3. таким образом, правильный ответ – 3.
Пример задания 3: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F? Какое выражение соответствует F? XYZF) (X ¬Y) Z 2) (X Y) ¬Z 3) X (¬Y Z)4) X Y ¬Z
Слайд 2
История логики
Логика– наука о формах правильного мышления (рассуждения). Термин происходит от греческого слова «логос», что значит рассуждение. Логика-древняя наука, появившаяся приблизительно в 4 веке н.э. На востоке логика развивалась в Китае и в Индии. В Европе развитие логики происходит из Древней Греции.
Слайд 3
Основателем логики принято считать греческого философа Аристотеля. Аристотель первым систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и правила логического мышления. Результаты своих исследований он описал в цикле сочинений под общим названием «Органон»
Слайд 4
Рассуждая о чем-то, человек производит высказывания (суждения). Высказывание- это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Пример: 1) На улице идет дождь. 2) Луна – спутник Земли. Приведенные примеры являются простыми высказываниями. Сложные высказывания составляются из простых высказываний, соединенных логическими связками: «и», «или», «не» и т.д.
Слайд 5
Умозаключение – это процесс получения нового высказывания в результате анализа данных высказываний.
Слайд 6
В 19 веке в математической науке возникает новый раздел – алгебра логики. Алгебра логики оперирует с логическими величинами, которые могут принимать всего два значения: истина или ложь.
Слайд 7
Джорж Буль впервые применил алгебраические методы для решения традиционных логических задач, которые до этого решались методами рассуждений, согласно логике Аристотеля. В алгебре логики логические величины обозначаются буквами: a, b, x и т.д.
Слайд 8
Логические операции
Слайд 9
Слайд 10
Пример: Шахматы
Есть 4 друга: Антон, Виктор, Семен и Дмитрий. Относительно их умение играть в шахматы, справедливы следующие высказывания: Семен играет в шахматы Если Виктор не играет в шахматы, то играет Семен и Дмитрий Если Антон или Виктор играет, то Семен не играет. Преобразуем эти высказывания к алгебраической форме. Введем логические переменные для обозначения четырех простых высказываний: А = «Антон играет в шахматы» В = «Виктор играет в шахматы» С= «Семен играет в шахматы» D = «Дмитрий играет в шахматы»
Логические операции И и ИЛИ
Логика высказываний позволяет строить составные высказывания . Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ , И , ИЛИ и др.
Логическая операция И
Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.
Логическая операция И
Составное высказывание А И В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И , истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны.
Логическая операция И
Пример 1:
Проанализируем высказывание «Число 456 трехзначное и четное».
Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:
«Число 456 трехзначное» (высказывание А ) и «Число 456 четное» (высказывание В ).
Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И , в результате получено составное высказывание
А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B ) = 1.
Логическая операция И
Пример 2:
Высказывание А : «Геракл - герой древнегреческой мифологии». Истинно , А = 1.
Высказывание В : «Геракл - сын бога Зевса». Истинно , B = 1.
Высказывание А И В : «Геракл - герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно , (А И В ) = 1.
Логическая операция И
Операцию И называют логическим умножением
И :
Логическая операция И
Представим таблицу истинности для логической операции И :
Логическая операция И
Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И , будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.
И используют следующие обозначения: A И B , A AND B , A · B , A * B , A ∧ B , A & B .
Логическая операция Или
Составное высказывание А ИЛИ В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ , ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны
Логическая операция Или
Пример 3:
Проанализируем высказывание «Семиклассники изучают философию или астрономию» .
Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А ), «Семиклассники изучают астрономию» (высказывание В ), которые связаны логической операцией ИЛИ . В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B ) = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание А : «Франциск Скорина - белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.
Высказывание В : «Стефан Баторий - турецкий султан». Ложно, B = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание «Франциск Скорина - белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий - турецкий султан» будет истинным , (А ИЛИ В ) = 1.
Логическая операция Или
Операцию И называют логическим умножением . Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Логическая операция Или
Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:
А
В
А ИЛИ В
Логическая операция Или
Операцию ИЛИ называют логическим сложением . Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.
Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B , A OR B , A + B , A ∨ B , A | B .
Логическая операция Или
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения.
Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ . Логическая операция И , т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ - логического сложения
Логическая операция Или
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем - все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:
A И B = B И A ;
A ИЛИ B = B ИЛИ A .
Логическая операция Или
- Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.
- Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным.
- Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Прогноз погоды обещает дожди».
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А ИЛИ B будет истинным, если прогноз погоды обещал дождь (независимо от того, какую погоду мы наблюдаем сейчас).
Упражнения
Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская. Кролики - домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще. Клавиатура - устройство ввода информации, ИЛИ винчестер - устройство вывода информации. М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет». Сосна - хвойное дерево, И кедр - не хвойное дерево. Процессор - устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники - не устройство ввода информации. Континенты и острова - это большие участки суши.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
- Кролики - домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
- Клавиатура - устройство ввода информации, ИЛИ винчестер - устройство вывода информации.
- М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
- Сосна - хвойное дерево, И кедр - не хвойное дерево.
- Процессор - устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники - не устройство ввода информации.
- Континенты и острова - это большие участки суши.
Домашнее задание
